Apa sih arti dari aljabar itu ??
Menjumlah,
Mengurangi,
Mengkali,
Membagi.
Sedangkan linier berarti persamaan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi adalah 1. Maka dengan demikian, kita dapat mengartikan bahwa aljabar linier adalah suatu fungsi dengan variabel bebasnya, paling tinggi orde 1. Aljabar linear pada dasarnya adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, Matriks. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Tetapi disini kami memakai persamaan linier dan matriks.
Di dalam aljabar linier, kita akan membahas tentang variabel, konstanta, koefisien, dan suku.
1. Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
Contoh :
Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel sebagai pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya.
² Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnya adalah 12.
Penyelesaian :
Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.
2. Konstanta
Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat
variabel.
Contoh :
Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut.
a. 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
b. 3 – 4x2 – x
Penyelesaian :
a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel,
sehingga konstanta dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
adalah –8.
b. Konstanta dari 3 – 4x2 – x adalah 3.
3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
Contoh :
Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar berikut.
a. 5x2y + 3x
b. 2x2 + 6x – 3
Penyelesaian:
a. Koefisien x dari 5x2y + 3x adalah 3.
b. Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.
4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta
pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu (monomial) adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua (binomial) adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga (trinomial) adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom.
Contoh lain pada aljabar linier :
1. 2x ….. yaitu bentuk aljabar suku ke-1.
2 … disebut koefisien
x… disebut variabel
2. 4x2 +3 ….. yaitu bentuk aljabar suku ke-2, (suku pertama : 4x2, suku kedua : 3)
4 … disebut koefisien
3 … disebut konstanta
x … disebut variabel
Angka 2 pada 4x2….. dinamakan pangkat / eksponen.
3. -3x2 + 2y + 1….. yaitu bentuk aljabar suku ke-3, (suku pertama : -3x2, suku kedua : 2y,
suku ketiga : 1)
1 … disebut konstanta
-3 dan 2 … disebut koefisien
x dan y ….. dinamakan pangkat / eksponen.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Perhatikan suku 4a2 dan –a2.
Pangkat dari a pada kedua suku tersebut sama, yaitu 2.
Sehingga kedua suku tersebut dinamakan suku sejenis
Contoh:
1. 2x dan -3x dinamakan suku-suku sejenis,
2. 3y2 dan y2 dinamakan suku-suku sejenis,
3. -4x2y dan 2xy2 bukan suku-suku sejenis,
4. 2xy dan 2ab bukan suku-suku sejenis
Contoh :
Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y. Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3 kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah 22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).
Amatilah bentuk aljabar 3x2 – 2x + 3y + x2 + 5x + 10. Sukusuku 3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis.
bagaimana mengkombinasi dan menyederhanakan bentuk aljabar seperti h + h + k + s + k + c + h ?
Bila bentuk aljabar tersebut dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama, maka akan
Diperoleh ( h + h + h ) + ( k + k ) + s + c = 3h + 2k + s + c .
Contoh lain dari bentuk aljabar :
Jika n + x + y2 + x + x + y2
Pengelompokkan suku”nya : n + ( x + x + x ) + (y2 + y2)
Bentuk Sederhana : 2y2 + 3x + n
Jika 2s2 + 3a − 6y3 + 2a3 + 5t5 − 7 sering ditulis sebagai 5t5 + 2a3 + 3a − 6y3 + 2s2 − 7 .
Jika − 2x2 + 4p2 − 5x + 6y3 + 2p3 + 8 + 5t2 sering ditulis 2p3 + 4p2 + 6y3 + 5t2 − 2x2 – 5x + 8
2x - 5 - 3x + 1 = 2x - 3x - 5 + 1
= (2-3)x -4
= -1x - 4.
-1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan -x, demikian juga
1x boleh hanya ditulis dengan x.
5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h = 5k - 8k + 4j -2h - 7h +6
= -3k +4j -9h+6.
Berikut ini terdapat suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam persamaan aljabar linier dengan n unknown yang bentuk umumnya
a11 x1 + a12x2 + … + a1nxn = C1
a21 x1 + a22x2 + … +a2nxn = C2
. . .. .. .. = ..
. . .. .. .. = ..
an1 x1 + an2x2 + … + annxn = Cn
Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial.
Pencarian solusi berupa nilai x1, x2,…., xn dapat ditempuh melalui cara matrik
MATRIKS
Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linier. Disini ada beberapa penerapan aljabar linier terhadap matriks.
Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m (baris) dan n
(kolom) maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m (baris) dan n (kolom) ) adalah Amxn, Bmxn dan seterusnya.
Bentuk umum dari Amxn adalah :
aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
1. Jenis – jenis matriks
Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada
pembahasan selanjutnya, yaitu :
a. Matriks Bujur sangkar
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.
Contoh :
dengan elemen diagonal a11 dan a22
dengan elemen diagonal a11, a22 dan a33
b. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol.
Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.
Contoh :
, ,
c. Matriks Nol
Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.
d. Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.
Contoh :
, ,
Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.
Contoh :
f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat– syarat berikut :
Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).
Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.
Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.
Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.
Contoh :
Matriks A , B dan C adalah matriks – matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks – matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.
2. Operasi – operasi matriks
a) Penjumlahan matriks
Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran
yang sama.
Aturan penjumlahan
Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks
Contoh:
b) Perkalian matriks dengan matriks
Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.
Aturan perkalian
Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen– elemen B kolom j.
Contoh :
c) Perkalian matriks dengan skalar
Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A
dikalikan dengan k.
Contoh :
d) Transpose matriks
Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris –
barisnya merupakan kolom dari A.
Contoh :
Sifat – sifat dari operasi matriks
- A+B = B+A
- A+ ( B+C ) = ( A+B) + C
- AB ≠ BA
- A ( BC ) = ( AB ) C
- ( At )t = A
- ( AB )t = BtAt
3. Matriks Invers
Jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I ( I matriks identitas ), maka
dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A ( notasi A–1 ).
Contoh :
Maka B = A–1 dan A = B–1
Sifat yang berlaku :
- ( A–1 )–1 = A
- ( AB )–1 = B–1A–1
